Lema 9

Enunciado

Todo subconjunto infinito $S$ de un espacio topológico compacto $(X,\mathcal{T})$ tiene, al menos, un punto de acumulación.

Demostración

Sea $S$ un subconjunto infinito. Como es un subconjunto de un espacio compacto, entonces también será compacto. Por reducción al absurdo, suponemos que $S$ no tiene un puntos de acumulación, lo que significa que todos son puntos aislados. De esta manera, para cada $x\in S$, $\mathrm{\exists }U\in \mathcal{E}(x)$ tal que $U\setminus \{x\}=\varnothing$ . Por hipótesis, podemos tomar la unión de todos esos entornos como cubrimiento de $S$; no obstante, no existirá un subcubrimiento finito pues hay infinitos puntos en $S$. $◼$